在过去的十年里，我花了很多时间在清华大学聘请了一批世界级的学者我很高兴地看到，中国的数学和基础科学水平正在蓬勃发展，并取得了很大的进步

今天的讲座，我想讲一件非常重要的事情我一直希望能分享给我的同事和学生这就是中国数学和基础科学的未来应该怎么走

我们走的是一个在数学和基础科学上可以领先全世界的方向，可以算是世界一流如果所有的学者都跟在别人后面，他们就不能解决重要的问题目前，所谓的卡脖子问题也是因为在许多重要问题上跟随他人所以今天我想和大家探讨一下什么是一流的学习，尤其是一流的学习在数学领域是如何产生的

什么是学，什么是问

首先，学习有两部分，一是学，二是问孔子说:学而不思则罔，不学无术的思考是危险的思考其实就是在问我们中国人擅长考试，学习别人提出的各种方法和技巧，脾气很好但如果只擅长回答问题，对科学的发展不会有太大贡献目前，虽然我们在奥运会上不断获得金牌，但还没有出现一大批解决了重大数学问题的学者所以一定要确切的知道怎么学，怎么做一流的学者

其次，学习需要勤奋没有基本的工具，光靠思考是没有用的孔子说思而不学，则危矣，就是说思而不学是远远不够的数学的发展已有2500多年的历史，先后涌现出许多天才数学家从欧几里德，毕达哥拉斯，阿基米德，到后来的费马，笛卡尔，牛顿，高斯，欧拉，拉格朗日，黎曼，希尔伯特等数学的大厦一层一层地建得越来越高无论我们多么有天赋，多么善于思考，我们的知识和创造力都必须建立在他们的知识之上微积分从阿基米德开始慢慢发展，最后由牛顿和莱布尼茨完成这个过程是没有办法跳跃的，每一步都必须基于前人的知识牛顿曾经说过:如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上这不是谦虚他的工作是在前人的基础上完成的今天，我们要引领世界知识的潮流，就必须学好前人的知识在这个过程中，勤奋是绝对重要的

为什么要提问。

求天人之乐，广千古之胸怀是清华大学求真书院的校训根本原因是我们所做的事情，尤其是科学和数学，与自然息息相关我们应该在追求自然奥秘的过程中，找到最有意义，最有趣的地方如果我们不了解和欣赏大自然的神秘和乐趣，我们就不能永远做好学习，这就是找到天人合一的地方拓展各个时代的胸怀是指学习不仅仅是为了获奖，成为院士，而是希望所学的东西能在科学史上留下重要的轨迹《诗经》，《楚辞》和李白，杜甫的诗，千百年后读起来依然很有意思这是因为他们对自然之美和人间悲欢离合的描写，使人感到亲切自然，这就是我所说的天人之乐我们所做的知识也要引起后人的共鸣，让他们知道我们今天开始的方向的意义，以及我们发现的规律

要考虑整个学习的方向是什么，如何理解数学的内部结构，这是很多大数学家经常思考的问题大学学者经常问很多问题不去问自己原创的问题，更容易回答别人的问题，这不一定是数学和科学的本质我觉得找到自己的方向很重要《礼记·学记》云:善待提问者，犹如敲钟，敲小者声小，敲大者声大这里打的钟是自然界和万物运行的规律深度问题可以指向大自然奥秘的深处，快速帮助我们引出其他有意义的相关问题

由希尔伯特23提问。

希尔伯特的23个问题是数学史上非常重要的一组问题日前，德国数学家希尔伯特做了一个题为数学问题的讲座他认为，从19世纪到20世纪，数学家提出了一些重要的问题，这些问题无疑对学科的进步起到了重要的推动作用他说，一个学科为了保持生命力，可以产生大量的重要问题这23个问题基本上引领了后来50年数学的发展当然这23个问题也不全是他提出来的，也有前大数学家提出来的，比如黎曼所有这些问题至今没有解决，但其中一些问题的解决促进了数学的重要发展

1978年，我在普林斯顿高等研究院组织了一次几何年的特别会议——微分几何论坛，带领一批数学家和几何学家研究几何的主要方向在会议的最后几周，我问了120个最重要的几何问题我的问题虽然不能和希尔伯特的23个问题相比，但还是很有意义的——思考当时几何遇到的困难在哪里，指明了学科的方向，解决之后会产生什么重要的结果和影响短期来看，一些好的问题可能不会马上产生很大的影响，需要花时间去消化和思考但这些问题一旦提出，往往会影响到数学中某些学科的走向我的120个问题促成了一门重要学科几何分析的开始

目前，当时提出的问题已经有三分之一左右得到了解决，而且大部分都是正解，基本证明了猜想的方向是重要的，是正确的，很多数学家在解决这些问题上都取得了很好的成果。

什么是好问题。

好问题让人豁然开朗思考这个问题本身就可以发展出一系列的思路，催生出一系列的文章不管最终解决与否，只考虑和研究问题是很重要的好的问题通常简洁优美如果解决了，它所在领域的很多问题都可能得到解决，就像长江里有一块巨石如果巨石被移走，水流会立即变得顺畅

你能听到鼓的面积吗。

我想举个例子的第一个问题是关于声音和几何的关系。

在古希腊，人类就意识到声音是由一些基本的声音组成的无论是弹琴还是打鼓，敲击都会产生不同频率的波动，发出声音波动由几个基本波组成，对应每个基本声级每个基波都有固定的频率，频率可以从鼓的频谱计算出来波动会产生美丽的图形，几何学家非常重视

著名几何学家Bochner提出了一个问题:我们能认出鼓的形状吗这个问题的想法可以追溯到1910年当时量子力学刚刚萌芽，物理学家H.A .洛伦兹问:有没有可能通过鼓的频谱和频率来估算鼓的面积希尔伯特对这个有趣的问题很感兴趣，但认为它太难了，在他的有生之年看不到它的解决方案但一年后，希尔伯特的学生赫尔曼·韦勒解决了这个问题艾伯特认为频谱越来越高根据量子力学的概念，也就是光谱的概念，可以推断出局部的几何变化，从而可以推导出阿尔伯特方程这是一个非常重要的方程，对今天的数学仍然有着重要的影响别人的想法和方法都可以追溯到过去欧拉花了很多时间研究k为正时1/nk的和，发展出了一个重要的函数方程黎曼将其推广，写出了著名的黎曼ζ函数这项划时代的工作影响了数论的发展除此之外，他还将黎曼ζ函数的思想推广到一般空间来研究听鼓声估算面积的问题，并最终解决了这个问题

你能听到鼓的面积吗这个问题是洛伦茨从物理现象提出来的，最后由威尔解决这个问题简单，自可是有趣，它的解决最终导致了几何学的许多重要进展

光谱可以看作是几何图形的量子信息，实际上可以得到量子信息与几何的关系当谱增加到无穷大时，得到局部几何信息，包括曲率，面积元等谱小时，得到几何拓扑或宏观信息几何学家也对几何图形的最小谱感兴趣

极小曲面上的猜想

我们可以在生活中看到许多微小的表面例如，在一个装满肥皂水的盆中，在水中拉一根金属丝形成的薄肥皂膜是一个最小的曲面在实验中，我们可以用不同的图像构造更多的极小曲面几何学家渴望了解它们的性质1977年，我提出了一个问题:怎样才能找到所有没有边界的完全极小曲面经过40年的努力，我的同学米克斯已经基本解决了这个问题

我的第二个猜想比较难，还没有完全解决我问，我们能找到三维球面上所有的紧致极小曲面吗我的朋友劳森构造了一些有趣的例子，我们称之为劳森曲面如果把曲面放在四维空间的单位球面上，然后用一条从圆心出发的直线连接曲面的每一点，就可以得到一个三维圆锥，即三维极小流形后来成为广义相对论中描述时空的重要工具我解决的另一个重要问题——广义相对论中的正质量猜想简单来说，主要方法是研究肥皂泡在时空引力下是如何变化的

如果把极小流形作为鼓面，敲击后得到一个谱，那么极小谱是多少1974年，我提出三维球面中极小曲面的第一谱λ1等于2我和很多朋友讨论过，他们都被这个奇妙的猜想吓了一跳卡拉比先生认为我很有见地几年后，两位数学家证明了三维球面中极小曲面的最小谱在1和2之间这个答案在极小曲面的研究中非常有用

数学中的富弼兴

在完成上述猜想的过程中，我的基本方法是比较两个完全不同的概念，一个是几何的概念，一个是量子力学的概念最后得出曲面的最小谱等于2，当然需要严格证明

数学是一门奇妙的知识这是一门推理和规则的学问通过比较不同的规律和思路，可以得到有意义的猜测，这其实是数学研究中常用的方法

这也与《诗经》中的富弼行密切相关所谓比，是指不同景物的类比，如代表离别的柳树或美人的腰说到离别，我不禁想起《诗经》里的我曾去，杨柳相依，周邦彦笔下的长条形使旅人怒就像等待的话语，没有承诺的告别，还有柳永的名句杨柳岸，轻风残月说到美女的腰，我想起了张喜安的细看一切

不同的比较是数学中常用的手段数学研究者应该考虑这个想法他们不仅要做题，还要把数看成数，把方程看成方程事实上，它们之间有许多相似之处和相关性

好问题从何而来。

问题从何而来，如何解决首先要理解不同的观点从历史上看，很多大学题的完成，往往是由不同学科碰撞产生的火花导致的比如前面提到的威尔，他是一位伟大的数学家，也是一位伟大的物理学家，他在量子力学和几何之间架起了一座桥梁因为这座桥梁，孕育了一批优秀的数学家和一条全新的探索之路所以，我觉得找准自己的方向是问好问题的重要途径

另外，在解决一个大问题的时候，我们往往需要好的工具工具的发展是一个不断完善的过程，每一个新的工具都推动着知识的不断发展新工具让我们看到不同的现象，增强我们看待问题的深度，鼓励我们进一步开发工具工具越多，就能产生越深刻有效的问题解决方案工具的每一次进步，都能促进有意义的，重要的，突破性的知识的发展

在伽利略的时代，他观察到地球是太阳系中的一颗恒星，这导致了牛顿力学的发展从此，人类看得更远了到20世纪初，我们了解到太阳系外有星系和不同的星云每一次跳跃都伴伴随着望远镜这一工具的不断发展数学也是如此

比如费马猜想，已经有三百多年的历史了就在30年前，一位伟大的英国数学家怀尔斯解决了这个问题在他之前，伟大的数学家对解决这个问题感兴趣长达数百年费马和欧拉解决了n=3的情况，用的是椭圆曲线法19世纪，德国数学家库默认为他可以解决费马问题虽然没有成功，但他引入了代数中的一个重要概念，即理想，从而导致了大量其他问题的解决到了20世纪，又出现了更多不同的方法，其中之一就是谷山—韦尔—志村猜想，由日本数学家谷山丰和志村五郎，以及法国数学家安德烈·韦尔提出，成为解决费马猜想的重要工具最后是由提出的

在欣赏数学之美的同时，要欣赏数学之美和真理背后的规律，通过不断的比较，提出重要的，开创性的问题一门学科的一个重要问题，只有通过不断的学习才能慢慢理解

什么是伟大的工作。

大数学家对学习有自己的看法这些系统，深刻，全新的观点为古代数学注入了新的活力，产生了一系列有意义的问题就像西方戏剧《浮士德》和中国经典《红楼梦》一样，都是由不同的部分组成，每个部分都有自己的风格但无论是牡丹还是绿叶，都需要有大师来勾勒，让零散的部分组合起来，最终形成一幅壮美的画面

我们也应该创建这样一个程序在这个方案的指导下，不同的学科分支放在一起，最终建成一座宏伟的建筑

当然，要达到这种宏观的观点，不仅需要一个人一会儿工作，还需要一个人一会儿提问有时，我们需要一个世纪才能看到这些程序的威力

1854年，黎曼给出了一个几何程序他通过物理学的等效原理建立了一个全新的内禀几何，完成了广义相对论的重要组成部分20世纪初，怀尔发展了李群表示理论和规范场理论，成为现代理论物理的基础魏易在上个世纪决定用代数几何作为研究数学的工具，完成了数学史上的一个伟大猜想——魏尔猜想我的朋友Langlands在50多年前提出了著名的Langlands方案，用群表示理论研究数学，产生了大量重要的方向和问题这些工作可谓波澜壮阔

所有伟大的作品都是大量阅读文献和放眼世界的结果70年代开始现代几何分析的时候，我的主要信念是用函数和定义的微分方程来描述空间，通过几何来理解函数和微分方程

好问题的几个特征

与数学文献有共同之处用简洁的文学语言描述我们看到的现象数学也喜欢简单一般来说，如果命题不够简洁，就很难深入当然，有深度的问题不一定简洁一般来说，一个好的数学题应该深刻，简洁，美观，有趣

什么是深度即深度解决一个问题后，能引领一个新的方向，看到一个更深远的图景

什么是简洁美观数学上，自然之美可以用一个非常简单的方程解释清楚牛顿的方程，爱因斯坦的方程，狄拉克的方程都非常简洁，总结了自然界很多美好的现象，蕴含了大自然的奥秘文学用非常浅显的语言描述自然风光，让我们产生心理共鸣好的数学也能在我们心中产生共鸣当时我听了卡拉比的演讲后，产生了很大的震撼我感觉如果我能理解他的猜想，我就解决了数学中的大量问题

一流的问题，一定要有深度，同时要漂亮，有意义，有趣比如庞加莱猜想，费马猜想，卡拉比猜想等都是深刻有趣简洁一流的问题

数学在于研究数学的深度，意义和内容几十年来，我们看到一些重要的问题得到了解决，其中最著名的就是四色问题，即一张地图只用四种颜色就够了解决方案的最后步骤由计算机完成但是我们对这个问题本身的意义，它的组合意义，几何意义都没有深入的理解在我看来，这个问题还没有完全解决，希望以后能多了解一下现在很多数学问题，尤其是应用数学，都是用计算机来计算的有时他们可能对，有时他们可能不对最大的问题是我们不知道问题的结构和整个知识这些都不能算是一流的答案，也不可能出行业领先的一流技术

对于某些问题，兴趣大于深度我做过类似的题，比如我48年前完成的一篇小文章，证明了曲率大于0的空间，只要不是紧的，体积就无限大虽然不是很深的问题，虽是一条小路，必有令人印象深刻的一条只要问题有趣，就可以算是好问题

提高识别重要问题的能力。

我们要学生有眼光，好好学习，多提问，这是很重要的训练有眼光很重要跑到山里，用更开阔的视野看世界如果你没有工具，那就只能望远，所以掌握工具也很重要在70年代，为了解决不同的问题，我读了很多书，包括量子力学，几何等，从中我得到了工具，得到了重要的结果在这里，也希望大家在学习的时候，一定要循序渐进提出问题是最重要的一步提出问题后，应该就能解决了即使解决不了，也要探索新的工具和新的方向

我认为，当今中国基础科学的发展，最重要的是提出问题我们应该培养今天的年轻人，帮助他们提高发现重要问题的能力问一个有趣的问题，同时解决它如果解决的是一条从来没有人走过的路，这个过程就是满足的，比做世界首富更享受这也是我学习的感受

在完成卡拉比猜想后，我引用了颜的两句话:落花独立，雨燕齐飞来描述你的感受当我试图解决卡拉比猜想时，没有人同意它是正确的落花独立是指我满足于独立完成它，独立欣赏它雨燕齐飞是形容我与自然融为一体的感觉

我想，身为一流学者的学者也有类似的感受，就像画家完成一幅美丽的画后的心情我也坚持鼓励青年学者努力思考，学好知识，提出好问题，努力探索自然的奥秘，为了寻找自然中的规律而探索知识

演讲人:丘成桐演讲地址:清华大学人文清华论坛演讲时间:2022年9月

现任丘成桐清华大学教授，丘成桐数学科学中心主任，求真学院院长，北京雁栖湖应用数学研究院院长，并当选中国科学院，美国国家科学院，美国文理科学院，俄罗斯科学院等外籍院士他曾获得菲尔兹奖，麦克阿瑟奖，克劳福德奖，沃尔夫数学奖和马塞尔格罗斯曼奖

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